TL;DR
先日あったABC187で大敗したわけですが、E問題解くときに方針としてはこれでも解けるんじゃないかなと思ったのがDFS木で、本番中には実装できなかったですが、後でACできました。ただ、実装思ったより詰まったので記事にしておきます。実装力がほしい。
DFS木
木のノードのインデックスをDFSの探索順に振り直したものがDFS木です。ただの無向グラフとかを扱う場合でも有用な手段らしいです。理解が足りてないので理解できてきたら書きたい。今回は木上でやるので、後退辺が出現しません。
今回は部分木へのRAQをするために使います。実際にはセグメント木とかにのせればもっと色んな処理に使えそう。代替このスライドを参考にさせていただきました
木上でのDFS
まあ木に限る必要は特にないんですが、木上でDFSするところから始めます。graphは隣接リスト形式で持つものとします。
use proconio::{fastout, input};
fn dfs(start: usize, graph: &Vec<Vec<usize>>, seen: &mut Vec<bool>) {
if seen[start] {
return;
}
seen[start] = true;
println!("{}", start);
for i in 0..graph[start].len() {
dfs(graph[start][i], graph, seen)
}
}
#[fastout]
fn main() {
input! {
n: usize,
ab: [(usize, usize); n-1]
}
let mut graph = vec![vec![]; n];
for &(a, b) in ab.iter() {
graph[a - 1].push(b - 1);
graph[b - 1].push(a - 1);
}
let mut seen = vec![false; n];
dfs(0, &graph, &mut seen);
}
input/outputはこうなります。まあただのDFSです。
#input
7
2 1
2 3
4 2
4 5
6 1
3 7
#output
0
1
2
6
3
4
5
うまくいけてるらしいです。
DFS木の構築
DFS木にするためには、DFSの探索回数を記録していけばいいです。DFSのスタート地点を根としたDFS木を構築します。
また、後々のためにもともとのindexからDFS木へのindexとDFS木のindexからもともとのindexへの対応関係を記録しておけばいいです。そのへんを扱うには構造体にしといたほうが楽なので構造体にします。
#[derive(Debug, Clone)]
struct DfsTree {
graph: Vec<Vec<usize>>,
tree_index_to_dfs_index: Vec<usize>,
dfs_index_to_tree_index: Vec<usize>,
cnt: usize,
}
impl DfsTree {
fn new(graph: Vec<Vec<usize>>) -> Self {
let n = graph.len();
Self {
graph,
tree_index_to_dfs_index: vec![0; n],
dfs_index_to_tree_index: vec![0; n],
cnt: 0,
}
}
pub fn build(&mut self, root: usize) {
let mut seen = vec![false; self.graph.len()];
self.dfs(root, &self.graph.clone(), &mut seen);
}
fn dfs(&mut self, v: usize, graph: &Vec<Vec<usize>>, seen: &mut Vec<bool>) {
if seen[v] {
return;
}
seen[v] = true;
let dfs_ord = self.cnt;
self.tree_index_to_dfs_index[v] = dfs_ord;
self.dfs_index_to_tree_index[dfs_ord] = v;
self.cnt += 1;
for i in 0..graph[v].len() {
self.dfs(graph[v][i], graph, seen);
}
}
}
#[fastout]
fn main() {
input! {
n: usize,
ab: [(usize, usize); n-1]
}
let mut graph = vec![vec![]; n];
for &(a, b) in ab.iter() {
graph[a - 1].push(b - 1);
graph[b - 1].push(a - 1);
}
let mut seen = vec![false; n];
let mut dfs_tree = DfsTree::new(graph);
dfs_tree.build(0);
println!("{:?}", dfs_tree.tree_index_to_dfs_index)
}
inputは同じなので、outputだけ載せます。tree_index_to_dfs_index[i]はもともとのindexがDFS木で何番目になっているかを示しています。
[0, 1, 2, 4, 5, 6, 3]
部分木を取得するために
部分木を取得するためには、あるノードv (vはDFS木のインデックスです) について、その子孫のDFSが終了したタイミングをpos[v]として保存する必要があります。vを根とする部分木は[v, pos[v])の半開区間で表すことができます。あるノードvの探索が終わるタイミングは、再帰関数の中のfor文を抜けたところです。
use proconio::{fastout, input};
#[derive(Debug, Clone)]
struct DfsTree {
graph: Vec<Vec<usize>>,
tree_index_to_dfs_index: Vec<usize>,
dfs_index_to_tree_index: Vec<usize>,
pos: Vec<usize>,
cnt: usize,
}
impl DfsTree {
fn new(graph: Vec<Vec<usize>>) -> Self {
let n = graph.len();
Self {
graph,
tree_index_to_dfs_index: vec![0; n],
dfs_index_to_tree_index: vec![0; n],
pos: vec![0; n],
cnt: 0,
}
}
pub fn build(&mut self, root: usize) {
let mut seen = vec![false; self.graph.len()];
self.dfs(root, &self.graph.clone(), &mut seen);
}
fn dfs(&mut self, v: usize, graph: &Vec<Vec<usize>>, seen: &mut Vec<bool>) {
if seen[v] {
return;
}
seen[v] = true;
let dfs_ord = self.cnt;
self.tree_index_to_dfs_index[v] = dfs_ord;
self.dfs_index_to_tree_index[dfs_ord] = v;
self.cnt += 1;
for i in 0..graph[v].len() {
self.dfs(graph[v][i], graph, seen);
}
// 底まで見た
self.pos[dfs_ord] = self.cnt;
}
pub fn dfs_index(&self, tree_index: usize) -> usize {
self.tree_index_to_dfs_index[tree_index]
}
pub fn tree_index(&self, dfs_index: usize) -> usize {
self.dfs_index_to_tree_index[dfs_index]
}
pub fn pos(&self, dfs_index: usize) -> usize {
self.pos[dfs_index]
}
pub fn subtree_range(&self, dfs_index: usize) -> (usize, usize) {
(dfs_index, self.pos[dfs_index])
}
}
#[fastout]
fn main() {
input! {
n: usize,
ab: [(usize, usize); n-1]
}
let mut graph = vec![vec![]; n];
for &(a, b) in ab.iter() {
graph[a - 1].push(b - 1);
graph[b - 1].push(a - 1);
}
let mut seen = vec![false; n];
let mut dfs_tree = DfsTree::new(graph);
dfs_tree.build(0);
println!("{:?}", dfs_tree.pos)
}
outputは以下になります。
[7, 6, 4, 4, 6, 6, 7]
実際にうまく記録できてそうです。
この構造体を使えばsubtreeの範囲も簡単にゲットできます。
実用例
ABC187-E
この問題は部分木に対してxを加算するか、全体に対してxを加算したあと部分木に対して-xする問題に帰着されます。ここまでは割とわかりやすくて、実装どうするのかってのがきっと問題だったんでしょう。
DFS木を使えば、部分木のindexは連続になっているので、一次元配列に対するimos法が使えて、最後に累積させたものを、もともとのindexに戻すことで実現できます。
最初はeuler tourとか調べて迷走していたのですが、それでもできそうな気がするのでまた調べたいですね。また、公式放送でやってた木に対するimosDFSみたいなのも理解しておきたいです。
ABC138-D
これも部分木への加算と考えれば同じ様に解くことができる。ただし想定解のほうが楽そう。